Come abbiamo già rilevato trattando il periodo operatorio-concreto, una delle due sostanziali restrizioni dei sistemi operativi a questo livello sta nella loro frammentarietà; infatti, le operazioni di classificazione, ecc. non si combinano in un'unica struttura d'insieme, il che significa che le operazioni non hanno ancora raggiunto un equilibrio completo.

Si è anche chiarito il carattere di tale frammentarietà sul piano logico: le due forme di reversibilità, l'inversione (o negazione) e la reciprocità (o compensazione) non sono unite, sempre a livello operatorio-concreto, in una struttura d'insieme e ciò impedisce al pensiero di aprirsi alla "combinatoria" delle operazioni formali.
Invece, al livello della combinatoria proposizionale per qualsiasi operazione esistono:
1) una negazione N, inversa della operazione in questione, che in relazione all'insieme è la complementare all'insieme delle associazioni di base;
2) la reciproca R della operazione presa in considerazione, che è l'operazione stessa, ma entro proposizioni negate;
3) la correlativa C, che è l'inversa della operazione reciproca.
Tenendo presente che la trasformazione identica I lascia l'operazione invariata, ci troviamo di fronte ad un gruppo commutativo (isomorfo al gruppo del "rettangolo" di Klein):
NR=C; CR=N; CN=R; NRC=I

Il gruppo commutativo INRC costituisce una struttura algebrica; esso, tuttavia, incorpora la reciprocità, che costituisce la forma di reversibilità delle strutture di ordine.
Qui corre l'obbligo di porre in evidenza che la nostra descrizione della problematica in questione risulta piuttosto schematica e priva di esemplificazioni: agli appassionati non possiamo che rivolgere l'invito ad approfondire la questione direttamente sui testi di Piaget già citati.

Dal punto di vista psicologico, questo gruppo rappresenta la sintesi e la forma di equilibrio finale delle due serie di strutture operatorie finora distinte. Di esso naturalmente il soggetto non ha alcuna coscienza in quanto struttura, ma è esattamente la composizione delle due forme di reversibilità che spiega i progressi che il soggetto compie sul piano della comprensione del reale: dalla lettura di un gran numero di dati dell'esperienza, al progresso compiuto nel campo della causalità, alla comprensione della proporzionalità, ecc.

Prendiamo ad esempio l'equilibrio meccanico, che implica l'eguaglianza tra azione e reazione. Scrive Piaget: "in un sistema in cui un pistone eserciti una pressione su un liquido contenuto in due vasi comunicanti, il soggetto può solo capire l'alterazione nel livello del liquido distinguendo quattro processi, che si possono molto facilmente descrivere in termini di operazioni:
(a) la operazione diretta, cioè l'aumento di pressione nel sistema risultante dall'aggiunta di pesi al pistone;
(b) l'operazione inversa, cioè una diminuzione della pressione risultante dalla rimozione dei pesi;
(c) l'operazione reciproca, cioè l'aumentata resistenza del liquido causata, per esempio, dall'aumento della densità;
(d) l'inverso della reciproca, cioè un decremento nella resistenza del liquido.
Mentre i soggetti di 14-15 anni possono facilmente distinguere queste quattro operazioni e coordinarle correttamente, i bambini non capiscono che la pressione del liquido, rilevata dal suo livello nel vaso agisce in opposizione alla pressione del pistone" (16).

Riferimenti bibliografici

(1) Cfr. Conese, A., La genesi dei concetti matematici secondo Piaget (parte I), in "Educare.it", Anno XIII, N. 1, Gennaio 2013.
(2) Tralasciamo di delineare le posizioni di Piaget circa i rapporti tra logica e psicologia. Riportiamo, comunque, un passo esplicativo sull'argomento: "la logica formale costituisce semplicemente l'assiomatica degli stati di equilibrio del pensiero, e la scienza reale che corrisponde a questa assiomatica non è altro che la stessa psicologia del pensiero" ( PIAGET, J., Psicologia dell'intelligenza, Firenze, Universitaria ed., 1962, pag. 12; cfr., al proposito, PIAGET, J., Logica e psicologia, Firenze, La Nuova Italia, 1969).
(3) Cfr. PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C., L'insegnamento della matematica, Firenze, La Nuova Italia, 1969, pagg. 1-33.
(4) Ibidem, pag. 7.
(5) Cfr. anche PIAGET, J., L'epistemologia genetica, Bari, Laterza ed., 1973, pagg. 33-57; PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit.; inoltre, dello stesso PIAGET, J., Le structuralisme, Paris, Presses Universitaires de France, 1968, pagg. 17-32.
(6) Cfr. Conese, A., La genesi dei concetti matematici secondo Piaget (parte I), Gli invarianti funzionali dell'intelligenza e gli stadi dello sviluppo, in "Educare.it", Anno XIII, N. 1, Gennaio 2013.
(7) PIAGET, J., L'epistemologia genetica, op. cit., pag. 10.
(8) Cfr. PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C., L'insegnamento della matematica, op. cit., pag.12.
(9) Ibidem, pag. 13.
(10) Ibidem, pag. 15.
(11) Un insieme è un reticolo se per ogni sua coppia di termini esiste un termine che ne rappresenta l'unione ed un termine che ne rappresenta l'intersezione. Cfr. la Nota esplicativa sulla logica di Piaget di VISALBERTI, A., in PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit., pagg. 77-79.
(12) PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C., L'insegnamento della matematica, op. cit., pag.18.
(13) Cfr. DUSE, V., Per un insegnamento moderno della matematica elementare, Brescia, "La Scuola" ed., 1970, pagg. 221-228. Cfr., anche, BOURBAKI, N., Elementi di storia della matematica, Milano, Feltrinelli ed, 1963.
(14) PIAGET, J., DIEUDONNÉ, J., LICHNEROWICZ, A., COQUET, G., GATTEGNO, C., L'insegnamento della matematica, op. cit., pag.23.
(15) Ibidem, pagg. 23-24;
(16) PIAGET, J., Logica e psicologia, op. cit., pagg. 25-26.

Links

• http://www.educare.it/j/temi/scuola/didattica/1482-matematica-scuola-primaria
• http://antonioconese.wordpress.com/2010/02/21/pensiero-e-linguaggio/
• http://antonioconese.wordpress.com/2010/04/29/pensiero-linguaggio-e-matematica/
• http://antonioconese.wordpress.com/2010/02/06/la-creativita-come-potenziale-educativo/
• http://www.educare.it/j/temi/scuola/didattica/1208-la-didattica-della-matematica-secondo-dienes

Autore: Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull'insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su "La dimensione europea della scuola e dell'insegnamento".
Docente di Scuola Primaria (1970-1979) e Dirigente Scolastico (1979-2007), ha collaborato con la Rivista "i diritti della scuola" ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l'insegnamento della matematica e delle scienze promossi dall'IRRSAE di Puglia in occasione dell'attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l'attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.

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