Strutture matematiche e strutture operatorie dell'intelligenza

Nella dinamica dello sviluppo il soggetto, come sappiamo, giunge, per mezzo delle coordinazioni senso-motorie e dei regolamenti rappresentativi pre-operatori, alle operazioni.
Come abbiamo già chiarito (6), l'operazione, reversibile, è fin dall'inizio solidale con un sistema: non può esistere un'operazione isolata "poiché un'azione isolata è a senso unico, e dunque non è un'operazione" (7).
Questo significa – come già si sottolineava – che la struttura operatoria esiste sin dall'inizio in cui vi è l'operazione e la struttura d'insieme non è il risultato di composizioni tra le operazioni preesistenti, poiché l'azione che inizialmente si presenta come irreversibile diviene operatoria e reversibile soltanto all'interno delle strutture e grazie alle sua organizzazione.
La reversibilità – abbiamo visto – presenta due aspetti complementari e irriducibili: l'inversione e la reciprocità.
Piaget spiega che i meccanismi operatori dell'intelligenza basati sulla prima delle due forme di reversibilità, l'inversione o negazione, corrispondono alle strutture algebriche, in particolare a quelle di gruppo.

Com'è noto, le proprietà fondamentali del gruppo algebrico sono: chiusura rispetto alla legge di composizione interna definita nell'insieme; associatività delle composizioni successive; esistenza dell'elemento neutro rispetto alla legge di composizione interna; esistenza, per ciascun elemento dell'insieme, del corrispettivo simmetrico appartenente all'insieme stesso.
Basta confrontare le proprietà fondamentali del gruppo con le leggi di equilibrio degli aggruppamenti operatori per rendersi conto che – come scrive Piaget – "da un punto di vista generale il gruppo è la traduzione simbolica di alcuni caratteri fondamentali dall'atto intellettivo: la possibilità di coordinare le azioni, la possibilità di fare e disfare" (8).

Ma quanto s'è detto non basta: "poiché le trasformazioni proprie di un gruppo sono sempre solidali con alcuni invarianti, la costruzione di un gruppo procede di pari passo con quella dei relativi invarianti. E lo stesso accade per ciò che riguarda le forme spontanee di organizzazione che si dà l'intelligenza durante il suo sviluppo: all'irreversibilità iniziale delle azioni corrisponde una mancanza di conservazione, e alla costruzione di strutture reversibili corrisponde l'elaborazione di nozioni di conservazioni entro l'ambito così strutturato" (9).

Nel rinviare ad un prossimo contributo la descrizione della elaborazione dei concetti di numero intero, di misura geometrica, ecc., bisogna ora sottolineare un punto importante: la costruzione del numero intero, ad esempio, presuppone una elaborazione logica preliminare, come la logica delle classi; a sua volta, le prime operazioni di questa logica suppongono alcune strutture di tipo algebrico (gli aggruppamenti) non ancora identiche al gruppo, ma tuttavia presentano alcuni dei caratteri del gruppo stesso.

Prendiamo come esempio l’operazione di inclusione di una classe parziale A in una totale B (si pensi alle classificazioni zoologiche): per stabilire la relazione "B maggiore di A", il soggetto deve passare attraverso l’operazione reversibile A+A’=B (A’ essendo il sottoinsieme complementare ad A rispetto all’insieme universo B) da cui A=B-A’ e A’=B-A.

Soltanto una volta che il ragazzo ha acquisito la reversibilità dell'addizione e della sottrazione logica delle classi, l'intero si conserva indipendentemente dalle suddivisioni che si possono introdurre. In altre parole, "l'includere la parte nel tutto suppone una struttura algebrica preliminare" (10).