La problematica che affronteremo in questa parte risulta complessa e, nello stesso tempo, particolarmente affascinante; richiede la conoscenza di alcuni concetti matematici fondamentali, peraltro non difficili da acquisire anche da parte di non esperti.
Tale problematica concerne il rapporto tra le strutture operatorie dell'intelligenza e le strutture matematiche: essa implica due acquisizioni fondamentali che noi desideriamo esplicitare immediatamente.

Il primo dato è che esiste – secondo Piaget – una convergenza straordinaria tra le principali operazioni utilizzate spontaneamente dal bambino e le nozioni che si cerca di insegnargli in astratto; ossia, che le strutture operatorie dell'intelligenza corrispondono, sorprendentemente, alle strutture fondamentali dell'edificio matematico.
Il secondo dato, fondamentale per la prospettiva interdisciplinare aperta dalla epistemologia genetica (1), è che occorre basare la didattica della matematica sulla organizzazione progressiva delle strutture operatorie (2).

Piaget, dunque, individua quali strutture fondamentali della matematica quelle proposte dai "bourbakiani": le strutture algebriche, il cui prototipo è il gruppo; le strutture d'ordine, in particolare il reticolo; le strutture topologiche (3).
L'esame delle origini dello sviluppo psicologico delle operazioni aritmetiche e geometriche che nascono spontaneamente nel fanciullo, e soprattutto delle operazioni logiche che ne costituiscono le condizioni necessarie e preliminari, porta a constatare che "ci troviamo ogni volta dapprima di fronte ad una tendenza fondamentale ad organizzare le totalità o i sistemi, al di fuori dei quali gli elementi non hanno significato né esistenza; e poi ad una ripartizione di questi sistemi d'insieme secondo tre tipi di proprietà che corrispondono precisamente a quelli delle strutture algebriche, d'ordine e topologiche" (4).
Cerchiamo, dunque, di seguire Piaget nell'analisi dei tre tipi di proprietà di cui sopra e nella rilevazione delle loro convergenze con quelle matematiche (5).