Giungiamo al problema dell'ordine di costruzione delle nozioni e delle operazioni geometriche nello sviluppo spontaneo del bambino e del rapporto di tale ordine di costruzione con le strutture topologiche, considerate dai "bourbakiani" fondamentali in geometria.
Occorre innanzitutto precisare in che modo le relazioni spaziali vengono classificate in matematica.
Diciamo, quindi, che vi sono tante geometrie: la geometria euclidea o metrica o dei movimenti rigidi, che è quella che abitualmente conosce la maggioranza delle persone; la geometria proiettiva; la topologia.
Ciascun gruppo di queste geometrie è caratterizzato da un invariante.
Così, nell'ambito della geometria euclidea una figura si può ottenere da un'altra mediante un movimento rigido nello spazio, nel quale si ha solo un cambiamento di posizione, ma non cambiamenti di misura. La geometria euclidea – la geometria che implica misura, o geometria metrica – ha come oggetto lo studio di proprietà di figure che rimangono costanti, od invarianti, quando siano soggette ad una particolare classe di trasformazioni: i movimenti rigidi.

Ma esistono altre classi di trasformazioni che non implicano semplicemente i cambiamenti di posizione di una figura.
Se lunghezza, angoli, area, volume, ecc. variano in seguito a delle trasformazioni geometriche, ma ad un punto corrisponde sempre un punto, ad una retta una retta, e restano invariati i rapporti fra le distanze di puntiA, B, C di una retta a con i punti X, Y, Z ad essi corrispondenti su un'altra retta x(proiezione della retta a), siamo nel gruppo delle trasformazioni proiettive.
Se poi sottoponiamo una figura a delle trasformazioni più drastiche, per cui lunghezza, angoli, area, volume, retta, rapporti, ecc. non sono mantenuti, ma si conservano soltanto due (e solo due) caratteristiche e cioè: 1) ad ogni punto p della figura A corrisponde un punto p1 della figura A1, e viceversa; 2) se p e q sono due punti qualsiasi della figura A, e p si sposta in modo che la distanza tra esso e q tende a zero, la distanza tra i corrispondenti punti p1 eq1 della figura A1 tende a zero e viceversa; se si conservano queste due caratteristiche – dicevamo – siamo nel gruppo delle trasformazioni topologiche.
I movimenti rigidi e le trasformazioni proiettive sono proprio casi speciali di trasformazioni topologiche: il gruppo dei movimenti rigidi (traslazioni, ecc.) è precisamente incluso nel gruppo delle trasformazioni proiettive, ed entrambi i gruppi sono inclusi in quello delle trasformazioni topologiche.

Storicamente, la geometria euclidea o metrica ha proceduto di molti secoli la geometria proiettiva, e la topologia si è costituita in geometria autonoma in epoca molto più recente (13).
Risulta sorprendente che il bambino, quando inizia a disegnare, non distingua i quadrati, i cerchi, ecc. ma differenzi benissimo le figure aperte o chiuse, le posizioni esterne o interne a una frontiera (compresa la posizione sulla frontiera), le separazioni e gli accostamenti (senza conservazione delle distanze), ecc.
Cioè: partendo da intuizioni topologiche fondamentali il bambino si orienta poi simultaneamente nella direzione delle strutture proiettive e delle strutture metriche.

"È piuttosto interessante osservare – scrive Piaget – che l'ordine di costruzione delle nozioni e delle operazioni geometriche nello sviluppo spontaneo del bambino non è per niente conforme all'ordine storico delle tappe della geometria e si avvicina piuttosto all'ordine di relazione dei gruppi fondamentali sui quali si fondano e diversi tipi di spazi" (14).

La conclusione che si può trarre da quanto si è detto è che, come nel caso delle strutture algebriche e delle strutture d'ordine, le strutture topologiche sono profondamente radicate nel funzionamento psicologico delle operazioni intellettuali.
Piaget precisa anche che, dal punto di vista operatorio, accanto alle operazioni di classi e relazioni, occorre sottolineare il ruolo delle operazioni infralogiche che, come abbiamo detto, costruiscono l'oggetto, ossia le operazioni costitutive dello spazio: "mentre l'operazione logica parte dall'oggetto individuale e giunge per estensione alle classi che sussistono indipendentemente dalla configurazione spaziale degli elementi che le compongono, l'operazione infralogica scompone l'oggetto in un sol colpo e lo ricompone a partire dai suoi elementi: questo sistema di comporre differisce dunque dal precedente per l'intervento del continuo e delle configurazioni.
Distinte per la loro struttura dalle operazioni logiche, le operazioni infralogiche tuttavia non le precedono nel tempo: nella fase pre-operatoria non vi è differenziazione fra le prime intuizioni infralogiche e quelle logiche, mentre a livello delle operazioni concrete i due tipi di strutture si stabiliscono parallelamente" (15).