Martedì, 11 Febbraio 2014 00:00
Categoria: Didattica
Scritto da Antonio Conese

La genesi dei concetti matematici secondo Piaget (parte III) - La misurazione di grandezze spaziali

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La misurazione di grandezze spaziali

Piaget e i suoi collaboratori hanno condotto esperimenti in cui interveniva ora la misurazione spontanea, ora la misurazione più direttamente sollecitata nei bambini dall'intervento dell'adulto.

Riportiamo a titolo esemplificativo una situazione creata dagli sperimentatori per valutare la misurazione spontanea di grandezze lineari.
Al bambino si mostra una torre, composta di un certo numero di pezzi, posta su di un tavolo e gli si chiede di costruirne un'altra uguale, posta su un tavolo di altezza differente e con pezzi non perfettamente uguali ai primi, per impedire che il ragazzo copi semplicemente il modello. Talvolta si frappone fra i due tavoli uno schermo, che il bambino potrebbe anche togliere e gli si mette a disposizione una varietà di materiale (carta, pezzi di legno, bastoni, spaghi) e lo si invita ad adoperarli per la misurazione.

Descriviamo, al riguardo, gli stadi analizzati dagli sperimentatori.
Sino a quattro anni e mezzo circa il bambino non tiene per nulla in conto le differenze di altezza dei tavoli e si aiuta soltanto con un confronto visivo, senza avvertire l'esigenza di adoperare il materiale che pure può usare liberamente.
In una seconda fase, che in media va sino ai sette anni, il bambino comincia a tenere conto del dislivello: pone allora un bastone tra le cime delle torri per assicurarsi che siano allo stesso livello e si accorge, inoltre, che le basi delle torri non sono alla stessa altezza.
Ha, così, l'idea di trasportare la propria torre sul tavolo del modello: ma questa operazione non è consentita.
Allora il bambino comincia ad adoperare il proprio corpo come strumento di misura: si serve del braccio, dell'apertura delle braccia che cerca di riportare dal modello alla copia, oppure dell'altezza della spalla, ma si rende conto dell'inattendibilità della misurazione.
Piaget sottolinea la positività di tali tentativi: «la misura come il numero, presuppone delle operazioni logiche. Se volete confrontare A alla copia B, è necessaria una comune misura C, che si renderà uguale ad A e poi a B; e ciò comporterà di uguagliare A e B. ...Abbiamo qui un vero ragionamento: è necessario utilizzare un intermediario tra i due. Ciò vuol dire stabilire la transitività delle relazioni logiche nella misura. Ci vogliono operazioni logiche preliminari come abbiamo visto per il numero» (20).

Ed infatti, dai sette anni in su, si constata una crescente tendenza ad utilizzare alcuni oggetti come modelli per la misurazione. Può trattarsi di una terza torre che viene costruita sul tavolo del modello e poi trasportato sull'altro tavolo per costruire la torre-copia. Ma in seguito lo strumento di misura diviene senz'altro un altro oggetto qualsiasi.
Dapprima il bambino sceglierà un bastone esattamente uguale alla torre-modello; poi si accontenterà di un bastone più lungo su cui si può fare un segno, e scarterà i bastoni più piccoli. Infine giunge a servirsi di un bastone corto, che riporterà un certo numero di volte per la misurazione.

A questo punto il concetto di misura è chiaro: il bambino ha compreso che l'intero è composto da diverse parti congiunte, cioè che l'intero è divisibile; inoltre, ha compreso che deve riportare un certo numero di volte la unità di misura, ossia possiede la nozione di iterazione dell'unità di misura: «come (si vede) c'è parallelismo tra il numero e la misura; il numero interviene implicitamente, ma vi è più di una parentela implicita. Vi sono esattamente le stesse operazioni, ma tradotte in linguaggio spaziale: la divisione degli elementi corrisponde all'inserimento delle classi l'una nell'altra e il riporto dell'unità corrisponde alla disposizione in serie, le due operazioni essendo fuse in una sola, proprio come avviene nella genesi del numero» (21).

In generale, ed è opportuno ribadire questo concetto, i principi di conservazione delle lunghezze e delle distanze implicano l'acquisizione da parte del soggetto delle nozioni di suddivisione dell'intero da misurare e di iterazione dell'unità di misura, e la loro sintesi.

Esattamente analogo è il discorso da farsi a proposito della conservazione delle superfici.
Sappiamo ormai che le prime relazioni accessibili al bambino sul terreno dello spazio sono relazioni topologiche e non metriche: il che equivale a dire che per lo spazio non vi è all'inizio alcuna conservazione perché il ragazzo è sensibile a rapporti implicanti posizioni, nozioni d'ordine, ecc., e non certo a rapporti euclidei.
Il problema della conservazione delle superfici è stato studiato in particolare partendo dall'assioma di Euclide: «se si tolgono parti uguali a quantità uguali si ottengono quantità uguali».
Anche in questo caso si trova «un'analogia sempre maggiore analizzando lo sviluppo della misura, della "quantificazione" dello spazio, e lo sviluppo del numero. Nei due casi si osserva al principio il qualitativo puro, poi vi è la sintesi delle operazioni di inserimento e di ordine o sotto forma di numero o sotto forma di misura» (22).

E la conservazione e misurazione dei volumi?
L'indagine piagetiana mostra con evidenza che negli esperimenti di valutazione della equivalenza tra due volumi il soggetto passa da uno stadio (4-7 anni) in cui è assolutamente dominato dai dati percettivi della situazione, mostrando così l'assoluta incapacità dell'operazione di moltiplicazione logica delle dimensioni, ad una seconda fase (7-8 anni e mezzo) in cui comincia a tener conto delle variazioni delle dimensioni, ma senza giustificazione delle stesse, ad una terza fase in cui alla moltiplicazione logica delle dimensioni si accompagna una quantificazione metrica del volume: per questo il soggetto utilizzerà inizialmente il cubo-unità e solo dagli undici anni in poi farà ricorso al procedimento di calcolo moltiplicando le lunghezze degli spigoli.
In definitiva, possiamo concludere che anche l'analisi dell'evoluzione della conservazione e misurazione del volume, a parte lo sfasamento di età cui abbiamo accennato, ripropone le fasi già esaminate a proposito della genesi del numero.

Riferimenti bibliografici

(1) Cfr., al riguardo: Conese, A., La matematica non è invariabile, in “I diritti della scuola”, Edizioni Scuola Vita, Milano, n. 10, Anno XCII, 15-1-1992; Conese, A., Caratteri della matematica moderna, in “I diritti della scuola”, Edizioni Scuola Vita, Milano, n. 12, Anno XCII, 15-2-1992; Conese, A., Struttura di gruppo, in “I diritti della scuola”, Edizioni Scuola Vita, Milano, n. 17, Anno XCII, 1-5-1992;
(2) LECCESE, G., Elementi della teoria ingenua degli insiemi, Firenze, Sansoni ed., 1973, pag. 58.
(3) Cfr. ibidem, pagg. 96-97.
(4) Cfr. LOVELL, K., La formazione matematica, Firenze, La Nuova Italia ed., 1970, pagg. 19-27 e BRAINERD, C. J., Le origini del concetto di numero, in “Le Scienze”, giugno 1973, n. 58, pagg. 84-93.
(5) Cfr. PIAGET, J., SZEMINSKA, A., La genesi del numero nel bambino, Firenze, La Nuova Italia ed., 1968; cfr. anche PIAGET, J., BOSCHER, B., CHATELET, A., Avviamento al calcolo, Firenze, La Nuova Italia ed., 1970, pagg. 3-6 e segg.
(6) PIAGET, J., SZEMINSKA, A., La genesi del numero nel bambino, op. cit., pag. 4.
(7) Ivi.
(8) Cfr. ibidem, pagg. 3-56.
(9) Cfr. pagg. 247-386.
(10) Ibidem, pag. 243.
(11) Ibidem, pag. 242.
(12) PIAGET, J., INHELDER, B., La représentation de l'espace chez l'enfant, Paris, Presses Universitaires de France, 1972, pag. 181
(13) Ibidem, pagg. 97-98.
Un’accurata descrizione delle esperienze condotte da Piaget e Inhelder si trova nel saggio documentato di PETTER, G., Lo sviluppo mentale nelle ricerche di Jean Piaget, Firenze, Giunti-Barbera edd., 1961, pag. 91-128. A Guido Petter va riconosciuto il grande merito di aver contribuito in maniera decisiva a diffondere in Italia gli studi di Jean Piaget.
(14) PIAGET, J., INHELDER, B., La répresentation de l'espace chez l'enfant, op. cit., pag. 9.
Va qui segnalato che gli esperimenti e i risultati degli esperimenti di Piaget a proposito di questo aspetto della discussione sono posti seriamente in discussione. Cfr., al riguardo, LOVELL, K., La formazione matematica, Firenze, La Nuova Italia ed., 1970, pagg. 114-119.
(15) PIAGET, J., INHELDER, B., La répresentation de l'espace chez l'enfant, op. cit., pag. 219.
(16) Ibidem, pag. 225.
(17) Ibidem, pag. 196.
(18) Ibidem, pag. 6.
(19) PIAGET, J., BOSCHER, B., CHATELET, A., Avviamento al calcolo, op. cit., pag 22.
(20) Ibidem, pag. 24.
(21) Ibidem, pag. 30.
(22) PETTER, G., Lo sviluppo mentale nelle ricerche di Jean Piaget, op. cit., pagg. 165-169.

Autore: Antonio Conese è laureato in Pedagogia (Università degli Studi di Bari) con una tesi sull'insegnamento della matematica nella scuola primaria; ha frequentato il Corso di Perfezionamento post-laurea (Università degli Studi di Firenze) su "La dimensione europea della scuola e dell'insegnamento".
Docente di Scuola Primaria (1970-1979) e Dirigente Scolastico (1979-2007), ha collaborato con la Rivista "i diritti della scuola" ed è stato Docente-esperto in numerosi corsi di formazione per l'insegnamento della matematica e delle scienze promossi dall'IRRSAE di Puglia in occasione dell'attuazione del Piano Pluriennale di Aggiornamento per l'attuazione dei Programmi di Scuola Primaria del 1985.