- Categoria: Didattica
- Scritto da Antonio Conese
La genesi dei concetti matematici secondo Piaget (parte III) - La genesi del numero
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Bisogna innanzitutto sottolineare che nei riguardi della tesi degli intuizionisti si possono sollevare due ordini di obiezioni, che si evincono chiaramente dall'opera "La genesi del concetto di numero nel bambino" (5).
La prima difficoltà contro cui urta l'ipotesi di una genesi del numero anteriore alla logica sta esattamente nel fatto che non si ha la comprensione reale del numero nel periodo preoperatorio, ossia nel periodo in cui non vi è ancora logica non essendosi costituite le "structures d'ensembles" del sistema delle operazioni concrete.
Nel periodo preoperatorio il soggetto è chiaramente condizionato dai fattori percettivi nella considerazione delle totalità e la ragione essenziale dei condizionamenti percettivi consiste nel fatto che al soggetto mancano le condizioni (logiche) che rendano possibile la conservazione degli invarianti elementari.
La mancanza della conservazione delle quantità e della invariabilità dei complessi, ciò che comporta una evidente incomprensione dell'insieme numerico, è l'obiezione principale che si può muovere alla tesi di una intuizione pura del numero anteriore alla logica.
Piaget sottolinea il ruolo che gioca l'acquisizione di un sistema, esplicito od implicito, di principi di conservazione nella strutturazione di qualsiasi tipo di cognizione, sia esso a livello scientifico o a livello del senso comune.
«Che si tratti – scrive Piaget – di quantità continue o discontinue, degli aspetti quantitativi percepiti nell'universo sensibile o dei complessi e dei numeri concepiti dal pensiero, che si tratti dei contatti più primitivi dell'attività aritmetica con l'esperienza o delle assiomatizzazioni più accuratamente depurate di qualsiasi contenuto intuitivo, ovunque e sempre la conservazione di qualche cosa è postulata dall'intelletto a titolo di condizione necessaria per ogni e qualsiasi comprensione matematica» (6).
Dal punto di vista psicologico, dunque, «la conservazione costituisce una condizione necessaria per qualsiasi attività razionale ... una specie di a priori funzionale del pensiero» (7).
Orbene: l'analisi delle risposte dei soggetti esaminati porta Piaget a sottolineare che la scoperta della conservazione non è dovuta ad una deduzione a priori ed analitica, ma presuppone le operazioni logiche di moltiplicazione delle relazioni, di partizione, di proporzionalità (= combinazione dell'uguaglianza con la relazione asimmetrica).
In altri termini, per Piaget non è la scoperta della conservazione che induce alla possibilità di moltiplicare le relazioni, ecc., bensì è la coordinazione dei rapporti sotto il duplice aspetto di moltiplicazione logica delle relazioni e di composizione matematica delle parti e delle proporzioni che conduce all'affermazione della conservazione (8).
Naturalmente – e dovrebbe essere chiaro dopo quanto s'è detto a proposito dello stadio del pensiero operatorio – le operazioni di cui sopra si costituiscono in funzione delle operazioni inverse di cui il fanciullo acquista la padronanza, cioè in funzione della acquisita reversibilità del pensiero.
Premesso che Piaget nella terza sezione de "La genesi del numero nel bambino" (9) chiarisce che classe, relazione asimmetrica e numero sono le tre manifestazioni complementari della stessa costruzione operante applicata sia alle equivalenze, sia alle differenze, sia alle equivalenze e differenze riunite e che quindi l'evoluzione nella comprensione delle classi, relazioni e numeri è questione di scambievoli rapporti, possiamo giungere ad intendere in che senso la posizione di Piaget costituisce la sintesi dei punti di vista di Russel e Peano.
Posto che il soggetto, nella costruzione di una classe, poniamo la classe delle bambole di diversa grandezza offerta alla percezione, fa astrazione dalle differenze e ritiene soltanto le loro qualità comuni, considera cioè l’equivalenza degli elementi; posto che, invece, nell’elaborazione di relazioni asimmetriche, il soggetto fa astrazione dalle equivalenze per porre attenzione sulle differenze (di grandezza, nel caso dell’esempio delle bambole); posto che, quindi, le classi generano totalità gerarchiche (la bambola A e la bambola B danno la classe delle bambole C) e le relazioni asimmetriche transitive generano seriazioni (A>B, B>C, dunque A>C; e, viceversa B<A, B<C, dunque C<A); ebbene: la serie dei numeri naturali risulta dalla sintesi della cardinazione (classe, inclusione gerarchica di
classi) e della ordinazione (relazione asimmetrica transitiva, seriazione).
Un numero qualsiasi, ad esempio 4, consegue dal raggruppare 4 oggetti per formare una classe; dall’includere 4 in 5; dal collocare 4 tra 3 e 5, cioè dal mettere in relazione 4 con 3 e 5, dal comprendere che se 4<5, allora 5>4; e che se 3<4 e 4<5, allora 3<5.
«I numeri finiti sono dunque necessariamente cardinali e ordinali ad un tempo, per la natura stessa del numero, che consiste in un sistema di classi e di relazioni asimmetriche fuse in un medesimo tutto operante. I cardinali risultano da una astrazione della relazione e questa astrazione non modifica la natura delle loro operazioni, poiché qualsiasi ordine attribuito a "n" termini dà la stessa somma cardinale "n". Gli ordinali, dal canto loro, risultano da un'astrazione della classe, astrazione ugualmente legittima, per la stessa ragione che l'n° termine finito corrisponderà sempre ad un complesso cardinale "n", ma questa duplice astrazione non modifica in alcun modo la proprietà del numero intero di conservare la sua unicità e di implicare l'indissociabile solidarietà delle totalità e dell'ordine» (10).
Il numero, insomma, «non è né classe totalizzante soltanto, né soltanto relazione seriante, ma contemporaneamente classe gerarchica e serie» (11).
